Integral de x*(1-x)*sqrt(2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \sqrt{2} x \left(1 - x\right)\, dx = \sqrt{2} \int x \left(1 - x\right)\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} + u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(1 - x\right) = - x^{2} + x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         El resultado es: $- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}+ \mathrm{constant}$