Integral de x-ln(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x \log{\left(x \right)} + x$

   El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x \log{\left(x \right)} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{2}+ \mathrm{constant}$