Integral de -xsin(2x)+2xcos(y)sin(y) dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int - x \sin{\left(2 x \right)}\, dy = - x y \sin{\left(2 x \right)}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(y \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(y \right)} dy$ y ponemos $- 2 du x$:

         $\int \left(- 2 u x\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - 2 x \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} x$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x \cos^{2}{\left(y \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \sin{\left(y \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(y \right)} dy$ y ponemos $2 du x$:

         $\int 2 u x\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = 2 x \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} x$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \sin^{2}{\left(y \right)}$

   El resultado es: $- x y \sin{\left(2 x \right)} - x \cos^{2}{\left(y \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- x \left(y \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x \left(y \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \left(y \sin{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right)+ \mathrm{constant}$