Integral de (e^(-5x)-3x+5x*e^(-x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $5 du$:

      $\int 5 u e^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = 5 \int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 u e^{u} - 5 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 5 x e^{- x} - 5 e^{- x}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      1. que $u = - 5 x$.

         Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 5 x}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{e^{- 5 x}}{5}$

   El resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x e^{- x} - 5 e^{- x} - \frac{e^{- 5 x}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x e^{- x} - 5 e^{- x} - \frac{e^{- 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x e^{- x} - 5 e^{- x} - \frac{e^{- 5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$