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Resolución de integrales/ 2-x^2/ 1-2*x/ (1-2*x)/sqrt(2-x^2)

Integral de (1-2*x)/sqrt(2-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    1 - 2*x     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  2 - x     
 |                
/                 
0
∫011−2x2−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx 
Integral((1 - 2*x)/sqrt(2 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−2x2−x2=−2x−12−x2\frac{1 - 2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = - \frac{2 x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2x−12−x2) dx=−∫2x−12−x2 dx\int \left(- \frac{2 x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{2 x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2x−12−x2=2x2−x2−12−x2\frac{2 x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x2−x2 dx=2∫x2−x2 dx\int \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

          1. que u=2−x2u = 2 - x^{2}.

            Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2−x2- \sqrt{2 - x^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −22−x2- 2 \sqrt{2 - x^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12−x2) dx=−∫12−x2 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12−x2 dx=2∫11−x22 dx2\int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}\, dx}{2}

            1. que u=2x2u = \frac{\sqrt{2} x}{2}.

              Luego que du=2dx2du = \frac{\sqrt{2} dx}{2} y ponemos 2du\sqrt{2} du:

              ∫21−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

                  ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              2asin⁡(2x2)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(2x2)\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡(2x2)- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

        El resultado es: −22−x2−asin⁡(2x2)- 2 \sqrt{2 - x^{2}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 22−x2+asin⁡(2x2)2 \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−2x2−x2=−2x2−x2+12−x2\frac{1 - 2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = - \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x2−x2) dx=−2∫x2−x2 dx\int \left(- \frac{2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=2−x2u = 2 - x^{2}.

          Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2−x2- \sqrt{2 - x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 22−x22 \sqrt{2 - x^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12−x2 dx=2∫11−x22 dx2\int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}\, dx}{2}

        1. que u=2x2u = \frac{\sqrt{2} x}{2}.

          Luego que du=2dx2du = \frac{\sqrt{2} dx}{2} y ponemos 2du\sqrt{2} du:

          ∫21−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2asin⁡(2x2)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(2x2)\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

      El resultado es: 22−x2+asin⁡(2x2)2 \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    22−x2+asin⁡(2x2)+constant2 \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

22−x2+asin⁡(2x2)+constant2 \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                           ________       /    ___\
 |   1 - 2*x                /      2        |x*\/ 2 |
 | ----------- dx = C + 2*\/  2 - x   + asin|-------|
 |    ________                              \   2   /
 |   /      2                                        
 | \/  2 - x                                         
 |                                                   
/
∫1−2x2−x2 dx=C+22−x2+asin⁡(2x2)\int \frac{1 - 2 x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = C + 2 \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        ___   pi
2 - 2*\/ 2  + --
              4
−22+π4+2- 2 \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} + 2 
=
= 
        ___   pi
2 - 2*\/ 2  + --
              4
−22+π4+2- 2 \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} + 2 
2 - 2*sqrt(2) + pi/4
Respuesta numérica [src] 
-0.0430289613487418
-0.0430289613487418

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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