Integral de (x^(2/3)-1)/cbrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}} - 1$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{3 u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{\frac{2}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- \frac{3}{u^{5}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)^{2}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 1\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$