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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^2/ sin^2*x*cos^2*c

Integral de sin^2*x*cos^2*c dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p                   
  -                   
  2                   
  /                   
 |                    
 |     2       2      
 |  sin (x)*cos (c) dx
 |                    
/                     
0
∫0p2sin⁡2(x)cos⁡2(c) dx\int\limits_{0}^{\frac{p}{2}} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(c \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^2*cos(c)^2, (x, 0, p/2))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫sin⁡2(x)cos⁡2(c) dx=cos⁡2(c)∫sin⁡2(x) dx\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(c \right)}\, dx = \cos^{2}{\left(c \right)} \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: (x2−sin⁡(2x)4)cos⁡2(c)\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{2}{\left(c \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (2x−sin⁡(2x))cos⁡2(c)4\frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(c \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2x−sin⁡(2x))cos⁡2(c)4+constant\frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(c \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2x−sin⁡(2x))cos⁡2(c)4+constant\frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(c \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                                
 |    2       2                2    /x   sin(2*x)\
 | sin (x)*cos (c) dx = C + cos (c)*|- - --------|
 |                                  \2      4    /
/
∫sin⁡2(x)cos⁡2(c) dx=C+(x2−sin⁡(2x)4)cos⁡2(c)\int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(c \right)}\, dx = C + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \cos^{2}{\left(c \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
        /       /p\    /p\\
        |    cos|-|*sin|-||
   2    |p      \2/    \2/|
cos (c)*|- - -------------|
        \4         2      /
(p4−sin⁡(p2)cos⁡(p2)2)cos⁡2(c)\left(\frac{p}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{p}{2} \right)} \cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2}\right) \cos^{2}{\left(c \right)} 
=
= 
        /       /p\    /p\\
        |    cos|-|*sin|-||
   2    |p      \2/    \2/|
cos (c)*|- - -------------|
        \4         2      /
(p4−sin⁡(p2)cos⁡(p2)2)cos⁡2(c)\left(\frac{p}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{p}{2} \right)} \cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2}\right) \cos^{2}{\left(c \right)} 
cos(c)^2*(p/4 - cos(p/2)*sin(p/2)/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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