Integral de 1/32*arctg(x/4) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx}{32}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{x}{4}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

         $\int 4 \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = 4 \int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - 2 \log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)} - 2 \log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{4 \left(\frac{x^{2}}{16} + 1\right)}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{4 \left(\frac{x^{2}}{16} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{16} + 1}\, dx}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{\frac{x^{2}}{16} + 1}\, dx = 8 \int \frac{x}{8 \left(\frac{x^{2}}{16} + 1\right)}\, dx$

            1. que $u = \frac{x^{2}}{16} + 1$.

               Luego que $du = \frac{x dx}{8}$ y ponemos $8 du$:

               $\int \frac{8}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{32} - \frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{32} - \frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{32} - \frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{32} - \frac{\log{\left(\frac{x^{2}}{16} + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$