Integral de 1(/x)*ln(ln(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int e^{2 u} \log{\left(u \right)}\, du$

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u} e^{2 e^{u}}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} e^{2 e^{u}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = e^{u}$.

               Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int e^{2 u}\, du$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{2 e^{u}}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{2 e^{u}}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 e^{u}}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 e^{u}$.

               Luego que $du = 2 e^{u} du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{e^{u}}{u}\, du$

               EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\operatorname{Ei}{\left(2 e^{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{Ei}{\left(2 e^{u} \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 u} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2 \log{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\log{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{e^{2 u}}{u}\, du$

         EiRule(a=2, b=0, context=exp(2*_u)/_u, symbol=_u)

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{Ei}{\left(2 \log{\left(x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$