Integral de ((ln^3)x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3} e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3} e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3} e^{u}\, du = - \int u^{3} e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               3. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3} e^{u} + 3 u^{2} e^{u} - 6 u e^{u} + 6 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u} + \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u} - \frac{6 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} + \frac{6}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u} - \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u} + \frac{6 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{6}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6\right)+ \mathrm{constant}$