Integral de sin(x)(cos(x))⁵ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. que $u = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$