Integral de 1/sqrt(1+3x,2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{1}{\frac{2}{3}}}} = \frac{1}{3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}}$

   2. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{3 \sqrt{3 x + 1}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{1}{\frac{2}{3}}}} = \frac{1}{3 x \sqrt{3 x + 1} + \sqrt{3 x + 1}}$

   2. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2}{3 \sqrt{3 x + 1}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2}{3 \sqrt{3 x + 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2}{3 \sqrt{3 x + 1}}+ \mathrm{constant}$