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Resolución de integrales/ cos^5/ (cos^5)*(13-x)

Integral de (cos^5)*(13-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |     5               
 |  cos (x)*(13 - x) dx
 |                     
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0
∫01(13−x)cos⁡5(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(13 - x\right) \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^5*(13 - x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (13−x)cos⁡5(x)=−xcos⁡5(x)+13cos⁡5(x)\left(13 - x\right) \cos^{5}{\left(x \right)} = - x \cos^{5}{\left(x \right)} + 13 \cos^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡5(x)) dx=−∫xcos⁡5(x) dx\int \left(- x \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          8xsin⁡5(x)15+4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3+xsin⁡(x)cos⁡4(x)+8sin⁡4(x)cos⁡(x)15+52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45+149cos⁡5(x)225\frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} + \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} + \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} + \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

        Por lo tanto, el resultado es: −8xsin⁡5(x)15−4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3−xsin⁡(x)cos⁡4(x)−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45−149cos⁡5(x)225- \frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13cos⁡5(x) dx=13∫cos⁡5(x) dx\int 13 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡5(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        3. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 13sin⁡5(x)5−26sin⁡3(x)3+13sin⁡(x)\frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 13 \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −8xsin⁡5(x)15−4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3−xsin⁡(x)cos⁡4(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3−52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45+13sin⁡(x)−149cos⁡5(x)225- \frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} + 13 \sin{\left(x \right)} - \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (13−x)cos⁡5(x)=−xcos⁡5(x)+13cos⁡5(x)\left(13 - x\right) \cos^{5}{\left(x \right)} = - x \cos^{5}{\left(x \right)} + 13 \cos^{5}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xcos⁡5(x)) dx=−∫xcos⁡5(x) dx\int \left(- x \cos^{5}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          8xsin⁡5(x)15+4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3+xsin⁡(x)cos⁡4(x)+8sin⁡4(x)cos⁡(x)15+52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45+149cos⁡5(x)225\frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} + \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} + \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} + \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

        Por lo tanto, el resultado es: −8xsin⁡5(x)15−4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3−xsin⁡(x)cos⁡4(x)−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45−149cos⁡5(x)225- \frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} - \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13cos⁡5(x) dx=13∫cos⁡5(x) dx\int 13 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 13 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡5(x)=(1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(x))2cos⁡(x)=sin⁡4(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

        3. Integramos término a término:

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          El resultado es: sin⁡5(x)5−2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 13sin⁡5(x)5−26sin⁡3(x)3+13sin⁡(x)\frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 13 \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −8xsin⁡5(x)15−4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3−xsin⁡(x)cos⁡4(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3−52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45+13sin⁡(x)−149cos⁡5(x)225- \frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} + 13 \sin{\left(x \right)} - \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}

  2. Ahora simplificar:

    −xsin⁡5(x)5+2xsin⁡3(x)3−xsin⁡(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3+13sin⁡(x)+37cos⁡5(x)75−52cos⁡3(x)45- \frac{x \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 13 \sin{\left(x \right)} + \frac{37 \cos^{5}{\left(x \right)}}{75} - \frac{52 \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡5(x)5+2xsin⁡3(x)3−xsin⁡(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3+13sin⁡(x)+37cos⁡5(x)75−52cos⁡3(x)45+constant- \frac{x \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 13 \sin{\left(x \right)} + \frac{37 \cos^{5}{\left(x \right)}}{75} - \frac{52 \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡5(x)5+2xsin⁡3(x)3−xsin⁡(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3+13sin⁡(x)+37cos⁡5(x)75−52cos⁡3(x)45+constant- \frac{x \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 13 \sin{\left(x \right)} + \frac{37 \cos^{5}{\left(x \right)}}{75} - \frac{52 \cos^{3}{\left(x \right)}}{45}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                          
 |                                              5            3            5            3       2             5           4                                       2       3   
 |    5                                  149*cos (x)   26*sin (x)   13*sin (x)   52*cos (x)*sin (x)   8*x*sin (x)   8*sin (x)*cos(x)        4             4*x*cos (x)*sin (x)
 | cos (x)*(13 - x) dx = C + 13*sin(x) - ----------- - ---------- + ---------- - ------------------ - ----------- - ---------------- - x*cos (x)*sin(x) - -------------------
 |                                           225           3            5                45                15              15                                      3         
/
∫(13−x)cos⁡5(x) dx=C−8xsin⁡5(x)15−4xsin⁡3(x)cos⁡2(x)3−xsin⁡(x)cos⁡4(x)+13sin⁡5(x)5−8sin⁡4(x)cos⁡(x)15−26sin⁡3(x)3−52sin⁡2(x)cos⁡3(x)45+13sin⁡(x)−149cos⁡5(x)225\int \left(13 - x\right) \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{8 x \sin^{5}{\left(x \right)}}{15} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \frac{13 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{8 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{15} - \frac{26 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{52 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{45} + 13 \sin{\left(x \right)} - \frac{149 \cos^{5}{\left(x \right)}}{225}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             5            5                                                     3       2           4          
149   149*cos (1)   32*sin (1)         4                   2       3      52*cos (1)*sin (1)   8*sin (1)*cos(1)
--- - ----------- + ---------- + 12*cos (1)*sin(1) + 16*cos (1)*sin (1) - ------------------ - ----------------
225       225           5                                                         45                  15
−8sin⁡4(1)cos⁡(1)15−52sin⁡2(1)cos⁡3(1)45−149cos⁡5(1)225+149225+12sin⁡(1)cos⁡4(1)+32sin⁡5(1)5+16sin⁡3(1)cos⁡2(1)- \frac{8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{52 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{45} - \frac{149 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{225} + \frac{149}{225} + 12 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + \frac{32 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + 16 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} 
=
= 
             5            5                                                     3       2           4          
149   149*cos (1)   32*sin (1)         4                   2       3      52*cos (1)*sin (1)   8*sin (1)*cos(1)
--- - ----------- + ---------- + 12*cos (1)*sin(1) + 16*cos (1)*sin (1) - ------------------ - ----------------
225       225           5                                                         45                  15
−8sin⁡4(1)cos⁡(1)15−52sin⁡2(1)cos⁡3(1)45−149cos⁡5(1)225+149225+12sin⁡(1)cos⁡4(1)+32sin⁡5(1)5+16sin⁡3(1)cos⁡2(1)- \frac{8 \sin^{4}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{52 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{45} - \frac{149 \cos^{5}{\left(1 \right)}}{225} + \frac{149}{225} + 12 \sin{\left(1 \right)} \cos^{4}{\left(1 \right)} + \frac{32 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + 16 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} 
149/225 - 149*cos(1)^5/225 + 32*sin(1)^5/5 + 12*cos(1)^4*sin(1) + 16*cos(1)^2*sin(1)^3 - 52*cos(1)^3*sin(1)^2/45 - 8*sin(1)^4*cos(1)/15
Respuesta numérica [src] 
6.70179261999086
6.70179261999086

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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