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Resolución de integrales/ (1/x)/ acos(1/x)

Integral de acos(1/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |      /1\   
 |  acos|-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0
∫01acos⁡(1x) dx\int\limits_{0}^{1} \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx 
Integral(acos(1/x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=acos⁡(1x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=1x21−1x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    {acosh⁡(x)for ∣x2∣>1−iasin⁡(x)otherwese\begin{cases} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Ahora simplificar:

    {xacos⁡(1x)−acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xacos⁡(1x)+iasin⁡(x)otherwese\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {xacos⁡(1x)−acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xacos⁡(1x)+iasin⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{xacos⁡(1x)−acosh⁡(x)for ∣x2∣>1xacos⁡(1x)+iasin⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                  //                | 2|    \            
 |     /1\          || acosh(x)   for |x | > 1|         /1\
 | acos|-| dx = C - |<                        | + x*acos|-|
 |     \x/          ||-I*asin(x)   otherwise  |         \x/
 |                  \\                        /            
/
∫acos⁡(1x) dx=C+xacos⁡(1x)−{acosh⁡(x)for ∣x2∣>1−iasin⁡(x)otherwise\int \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \begin{cases} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\- i \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}
Simplificar
Gráfica
1.0000000.9997750.9998000.9998250.9998500.9998750.9999000.9999250.9999500.99997501
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi*I
----
 2
iπ2\frac{i \pi}{2} 
=
= 
pi*I
----
 2
iπ2\frac{i \pi}{2} 
pi*i/2
Respuesta numérica [src] 
(0.0 + 1.5707963267949j)
(0.0 + 1.5707963267949j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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