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Resolución de integrales/ cos(5*x)/ acos(5*x)

Integral de acos(5*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1/10            
   /             
  |              
  |  acos(5*x) dx
  |              
 /               
 0
∫0110acos⁡(5x) dx\int\limits_{0}^{\frac{1}{10}} \operatorname{acos}{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral(acos(5*x), (x, 0, 1/10))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=5xu = 5 x.

      Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

      ∫acos⁡(u)5 du\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{5}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫acos⁡(u) du=∫acos⁡(u) du5\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{5}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=acos⁡(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

          Entonces du⁡(u)=−11−u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u1−u2) du=−∫u1−u2 du\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. que u=1−u2u = 1 - u^{2}.

            Luego que du=−2ududu = - 2 u du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −1−u2- \sqrt{1 - u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 1−u2\sqrt{1 - u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: uacos⁡(u)5−1−u25\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{5} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xacos⁡(5x)−1−25x25x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=acos⁡(5x)u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=−51−25x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−5x1−25x2) dx=−5∫x1−25x2 dx\int \left(- \frac{5 x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\, dx

      1. que u=1−25x2u = 1 - 25 x^{2}.

        Luego que du=−50xdxdu = - 50 x dx y ponemos −du50- \frac{du}{50}:

        ∫(−150u) du\int \left(- \frac{1}{50 \sqrt{u}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du50\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{50}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u25- \frac{\sqrt{u}}{25}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1−25x225- \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{25}

      Por lo tanto, el resultado es: 1−25x25\frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xacos⁡(5x)−1−25x25+constantx \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xacos⁡(5x)−1−25x25+constantx \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                         ___________              
  /                     /         2               
 |                    \/  1 - 25*x                
 | acos(5*x) dx = C - -------------- + x*acos(5*x)
 |                          5                     
/
∫acos⁡(5x) dx=C+xacos⁡(5x)−1−25x25\int \operatorname{acos}{\left(5 x \right)}\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.0000.1000.0100.0200.0300.0400.0500.0600.0700.0800.0902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___     
1   \/ 3    pi
- - ----- + --
5     10    30
−310+π30+15- \frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{\pi}{30} + \frac{1}{5} 
=
= 
      ___     
1   \/ 3    pi
- - ----- + --
5     10    30
−310+π30+15- \frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{\pi}{30} + \frac{1}{5} 
1/5 - sqrt(3)/10 + pi/30
Respuesta numérica [src] 
0.131514674362772
0.131514674362772

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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