Integral de acos(x^2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{4}}}\, dx$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{4 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right) {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{2 \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{acos}{\left(x^{2} \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{acos}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}\middle| {x^{4} e^{2 i \pi}} \right)}}{3} + x \operatorname{acos}{\left(x^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$