Integral de (1-1/x^2)*(1-x*sqrtx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{7} - 2 u^{4} - 2 u^{3} + 2}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{7} - 2 u^{4} - 2 u^{3} + 2}{u^{3}}\, du = - \int \frac{2 u^{7} - 2 u^{4} - 2 u^{3} + 2}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{7} - 2 u^{4} - 2 u^{3} + 2}{u^{3}} = 2 u^{4} - 2 u - 2 + \frac{2}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 u\right)\, du = - 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{u^{2}}$

            El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} - u^{2} - 2 u - \frac{1}{u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{5}}{5} + u^{2} + 2 u + \frac{1}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 \sqrt{x} + x + \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(- \sqrt{x} x + 1\right) = \frac{- x^{\frac{7}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- x^{\frac{7}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 1}{x^{2}} = - x^{\frac{3}{2}} + 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 \sqrt{x} + x + \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 \sqrt{x} + x + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 \sqrt{x} + x + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$