Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+6)/ (2x+3)/ (x+6)*cos(2x+3)

Integral de (x+6)*cos(2x+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                        
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 |                         
 |  (x + 6)*cos(2*x + 3) dx
 |                         
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1
∫13(x+6)cos⁡(2x+3) dx\int\limits_{1}^{3} \left(x + 6\right) \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx 
Integral((x + 6)*cos(2*x + 3), (x, 1, 3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+6)cos⁡(2x+3)=xcos⁡(2x+3)+6cos⁡(2x+3)\left(x + 6\right) \cos{\left(2 x + 3 \right)} = x \cos{\left(2 x + 3 \right)} + 6 \cos{\left(2 x + 3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 3 \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x+3)2\frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x+3)2 dx=∫sin⁡(2x+3) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + 3 \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x+3)2- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+3)4- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(2x+3) dx=6∫cos⁡(2x+3) dx\int 6 \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x+3)2\frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(2x+3)3 \sin{\left(2 x + 3 \right)}

      El resultado es: xsin⁡(2x+3)2+3sin⁡(2x+3)+cos⁡(2x+3)4\frac{x \sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + 3 \sin{\left(2 x + 3 \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+6u{\left(x \right)} = x + 6 y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 3 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x+3)2\frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x+3)2 dx=∫sin⁡(2x+3) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + 3 \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x+3)2- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+3)4- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+6)cos⁡(2x+3)=xcos⁡(2x+3)+6cos⁡(2x+3)\left(x + 6\right) \cos{\left(2 x + 3 \right)} = x \cos{\left(2 x + 3 \right)} + 6 \cos{\left(2 x + 3 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x+3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 3 \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x+3)2\frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x+3)2 dx=∫sin⁡(2x+3) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x + 3 \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x+3)2- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x+3)4- \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(2x+3) dx=6∫cos⁡(2x+3) dx\int 6 \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x+3)2\frac{\sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(2x+3)3 \sin{\left(2 x + 3 \right)}

      El resultado es: xsin⁡(2x+3)2+3sin⁡(2x+3)+cos⁡(2x+3)4\frac{x \sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + 3 \sin{\left(2 x + 3 \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xsin⁡(2x+3)2+3sin⁡(2x+3)+cos⁡(2x+3)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + 3 \sin{\left(2 x + 3 \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xsin⁡(2x+3)2+3sin⁡(2x+3)+cos⁡(2x+3)4+constant\frac{x \sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + 3 \sin{\left(2 x + 3 \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                            
 |                                                cos(3 + 2*x)   x*sin(3 + 2*x)
 | (x + 6)*cos(2*x + 3) dx = C + 3*sin(3 + 2*x) + ------------ + --------------
 |                                                     4               2       
/
∫(x+6)cos⁡(2x+3) dx=C+xsin⁡(2x+3)2+3sin⁡(2x+3)+cos⁡(2x+3)4\int \left(x + 6\right) \cos{\left(2 x + 3 \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + 3 \sin{\left(2 x + 3 \right)} + \frac{\cos{\left(2 x + 3 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.8-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  7*sin(5)   cos(5)   cos(9)   9*sin(9)
- -------- - ------ + ------ + --------
     2         4        4         2
cos⁡(9)4−cos⁡(5)4+9sin⁡(9)2−7sin⁡(5)2\frac{\cos{\left(9 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(5 \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(9 \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(5 \right)}}{2} 
=
= 
  7*sin(5)   cos(5)   cos(9)   9*sin(9)
- -------- - ------ + ------ + --------
     2         4        4         2
cos⁡(9)4−cos⁡(5)4+9sin⁡(9)2−7sin⁡(5)2\frac{\cos{\left(9 \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(5 \right)}}{4} + \frac{9 \sin{\left(9 \right)}}{2} - \frac{7 \sin{\left(5 \right)}}{2} 
-7*sin(5)/2 - cos(5)/4 + cos(9)/4 + 9*sin(9)/2
Respuesta numérica [src] 
4.91207003307191
4.91207003307191

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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