Integral de 4*e^(5*x)+3/cos(x)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 e^{5 x}\, dx = 4 \int e^{5 x}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 e^{5 x}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   El resultado es: $\frac{4 e^{5 x}}{5} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 e^{5 x}}{5} + 3 \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 e^{5 x}}{5} + 3 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 e^{5 x}}{5} + 3 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$