Integral de sin(2x)cos^2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$