Integral de (9x+18)*sin(3*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u \sin{\left(u \right)} + 6 \sin{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \cos{\left(u \right)}$

         El resultado es: $- u \cos{\left(u \right)} + \sin{\left(u \right)} - 6 \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(9 x + 18\right) \sin{\left(3 x \right)} = 9 x \sin{\left(3 x \right)} + 18 \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 18 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \cos{\left(3 x \right)}$

      El resultado es: $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)}$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 9 x + 18$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 9$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(3 x \right)}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(9 x + 18\right) \sin{\left(3 x \right)} = 9 x \sin{\left(3 x \right)} + 18 \sin{\left(3 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 9 \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

            1. que $u = 3 x$.

               Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 18 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \cos{\left(3 x \right)}$

      El resultado es: $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)}+ \mathrm{constant}$