Integral de (x^2+3*sqrt(x))/(2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{3} + 3\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, du = 3 u$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{4} + 3 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 \sqrt{x} + x^{2}}{2 x} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sqrt{x}$

      El resultado es: $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \sqrt{x} + \frac{x^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$