Integral de dx/xln4x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(4 x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)^{2}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(4 x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{x}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(4 x \right)}^{2}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(4 x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(4 x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$