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Resolución de integrales/ 16-x^2/ 1/(sqrt(16-x^2))^3

Integral de 1/(sqrt(16-x^2))^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |              3   
 |     _________    
 |    /       2     
 |  \/  16 - x      
 |                  
/                   
0
∫041(16−x2)3 dx\int\limits_{0}^{4} \frac{1}{\left(\sqrt{16 - x^{2}}\right)^{3}}\, dx 
Integral(1/((sqrt(16 - x^2))^3), (x, 0, 4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(16−x2)3=−1x216−x2−1616−x2\frac{1}{\left(\sqrt{16 - x^{2}}\right)^{3}} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1x216−x2−1616−x2) dx=−∫1x216−x2−1616−x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫1−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4) dx\int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)} \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫1−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4) dx- \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)} \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(16−x2)3=1−x216−x2+1616−x2\frac{1}{\left(\sqrt{16 - x^{2}}\right)^{3}} = \frac{1}{- x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} + 16 \sqrt{16 - x^{2}}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1−x216−x2+1616−x2=−1x216−x2−1616−x2\frac{1}{- x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} + 16 \sqrt{16 - x^{2}}} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1x216−x2−1616−x2) dx=−∫1x216−x2−1616−x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} - 16 \sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫1−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4) dx\int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)} \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}\, dx

      Por lo tanto, el resultado es: −∫1−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4) dx- \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)} \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}\, dx

  2. Ahora simplificar:

    {−ix16x2−16for ∣x2∣16>1x1616−x2otherwese\begin{cases} - \frac{i x}{16 \sqrt{x^{2} - 16}} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x}{16 \sqrt{16 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {−ix16x2−16for ∣x2∣16>1x1616−x2otherwese+constant\begin{cases} - \frac{i x}{16 \sqrt{x^{2} - 16}} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x}{16 \sqrt{16 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−ix16x2−16for ∣x2∣16>1x1616−x2otherwese+constant\begin{cases} - \frac{i x}{16 \sqrt{x^{2} - 16}} & \text{for}\: \frac{\left|{x^{2}}\right|}{16} > 1 \\\frac{x}{16 \sqrt{16 - x^{2}}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                         /                                         
 |                         |                                          
 |       1                 |                   1                      
 | ------------- dx = C -  | -------------------------------------- dx
 |             3           |   ___________________                    
 |    _________            | \/ -(-4 + x)*(4 + x) *(-4 + x)*(4 + x)   
 |   /       2             |                                          
 | \/  16 - x             /                                           
 |                                                                    
/
∫1(16−x2)3 dx=C−∫1−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4) dx\int \frac{1}{\left(\sqrt{16 - x^{2}}\right)^{3}}\, dx = C - \int \frac{1}{\sqrt{- \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)} \left(x - 4\right) \left(x + 4\right)}\, dx
Simplificar
Gráfica
0.04.00.51.01.52.02.53.03.5010000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  4                                                      
  /                                                      
 |                                                       
 |  /                              2             2       
 |  |         I                 I*x             x        
 |  |- ---------------- + ----------------  for -- > 1   
 |  |        __________                3/2      16       
 |  |       /        2       /       2\                  
 |  |  16*\/  -16 + x     16*\-16 + x /                  
 |  <                                                  dx
 |  |                            2                       
 |  |         1                 x                        
 |  |  --------------- + ---------------    otherwise    
 |  |        _________               3/2                 
 |  |       /       2       /      2\                    
 |  \  16*\/  16 - x     16*\16 - x /                    
 |                                                       
/                                                        
0
∫04{ix216(x2−16)32−i16x2−16for x216>1x216(16−x2)32+11616−x2otherwise dx\int\limits_{0}^{4} \begin{cases} \frac{i x^{2}}{16 \left(x^{2} - 16\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{i}{16 \sqrt{x^{2} - 16}} & \text{for}\: \frac{x^{2}}{16} > 1 \\\frac{x^{2}}{16 \left(16 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{16 \sqrt{16 - x^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx 
=
= 
  4                                                      
  /                                                      
 |                                                       
 |  /                              2             2       
 |  |         I                 I*x             x        
 |  |- ---------------- + ----------------  for -- > 1   
 |  |        __________                3/2      16       
 |  |       /        2       /       2\                  
 |  |  16*\/  -16 + x     16*\-16 + x /                  
 |  <                                                  dx
 |  |                            2                       
 |  |         1                 x                        
 |  |  --------------- + ---------------    otherwise    
 |  |        _________               3/2                 
 |  |       /       2       /      2\                    
 |  \  16*\/  16 - x     16*\16 - x /                    
 |                                                       
/                                                        
0
∫04{ix216(x2−16)32−i16x2−16for x216>1x216(16−x2)32+11616−x2otherwise dx\int\limits_{0}^{4} \begin{cases} \frac{i x^{2}}{16 \left(x^{2} - 16\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{i}{16 \sqrt{x^{2} - 16}} & \text{for}\: \frac{x^{2}}{16} > 1 \\\frac{x^{2}}{16 \left(16 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{16 \sqrt{16 - x^{2}}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx 
Integral(Piecewise((-i/(16*sqrt(-16 + x^2)) + i*x^2/(16*(-16 + x^2)^(3/2)), x^2/16 > 1), (1/(16*sqrt(16 - x^2)) + x^2/(16*(16 - x^2)^(3/2)), True)), (x, 0, 4))
Respuesta numérica [src] 
164991136.125632
164991136.125632

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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