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Resolución de integrales/ cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)

Integral de cos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                       
 --                                       
 2                                        
  /                                       
 |                                        
 |  (cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x)) dx
 |                                        
/                                         
0
∫0π2(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x), (x, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)sin⁡(2x)) dx=−∫sin⁡(x)sin⁡(2x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(x)3\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡(x)sin⁡(2x)=2sin⁡2(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡3(x)3\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(x)cos⁡(2x)=2cos⁡3(x)−cos⁡(x)\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos^{3}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡3(x) dx=2∫cos⁡3(x) dx\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}

        2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡3(x)3+2sin⁡(x)- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −2sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    El resultado es: −4sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(3x)3+constant\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(3x)3+constant\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  3            
 |                                              4*sin (x)         
 | (cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x)) dx = C - --------- + sin(x)
 |                                                  3             
/
∫(−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)) dx=C−4sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\int \left(- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.52-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
=
= 
-1/3
−13- \frac{1}{3} 
-1/3
Respuesta numérica [src] 
-0.333333333333333
-0.333333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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