Integral de x/sqrt(1+4x) dx

1. que $u = \sqrt{4 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{4 x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(\frac{u^{2}}{8} - \frac{1}{8}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2}}{8}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{24}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{8}\right)\, du = - \frac{u}{8}$

      El resultado es: $\frac{u^{3}}{24} - \frac{u}{8}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{24} - \frac{\sqrt{4 x + 1}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{12}+ \mathrm{constant}$