Integral de (1+3x)/(sqrt(1+4x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{4 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\sqrt{4 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{3 u^{2}}{8} + \frac{1}{8}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 u^{2}}{8}\, du = \frac{3 \int u^{2}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{8}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{8} + \frac{u}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{\sqrt{4 x + 1}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 1}{\sqrt{4 x + 1}} = \frac{3 x}{\sqrt{4 x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt{4 x + 1}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt{4 x + 1}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8 u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(- \frac{1}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{1}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{16} - \frac{1}{8 u^{2}} + \frac{1}{16 u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{1}{8 u^{2}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{8}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{8 u}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{16 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{16}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{48 u^{3}}$

                        El resultado es: $\frac{u}{16} + \frac{1}{8 u} - \frac{1}{48 u^{3}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{4} + \frac{1}{4 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{16 u^{4}}$

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{16 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{16}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{16} + \frac{1}{8 u} - \frac{1}{48 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{8} - \frac{1}{4 u} + \frac{1}{24 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{8 u^{2}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{8}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{8 u}$

               El resultado es: $- \frac{1}{8 u} + \frac{1}{24 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{24} - \frac{\sqrt{4 x + 1}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{8} - \frac{3 \sqrt{4 x + 1}}{8}$

      1. que $u = 4 x + 1$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\left(4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{\sqrt{4 x + 1}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 1\right) \sqrt{4 x + 1}}{4}+ \mathrm{constant}$