Integral de (1-x)^2/x^3/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(1 - x\right)^{2} \frac{1}{x^{3}}}{2}\, dx = \frac{\int \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{x^{3}}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{x}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{2}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{x^{3}} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

      3. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{x}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{2}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{1}{4 x^{2}}+ \mathrm{constant}$