Integral de exp(sin(x))*sin(2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{\sin{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(2 x \right)} = 2 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - 2 e^{\sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) e^{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$