Integral de (x^2-1/x^2)(x^4-1/x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x^{4} - \frac{1}{x^{3}}\right) = x^{6} - x^{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{3}}{3} - \log{\left(x \right)} - \frac{1}{4 x^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}\right) \left(x^{4} - \frac{1}{x^{3}}\right) = \frac{x^{11} - x^{7} - x^{4} + 1}{x^{5}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{11} - x^{7} - x^{4} + 1}{x^{5}} = x^{6} - x^{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{5}}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{5}}\, dx = - \frac{1}{4 x^{4}}$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{3}}{3} - \log{\left(x \right)} - \frac{1}{4 x^{4}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{3}}{3} - \log{\left(x \right)} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{3}}{3} - \log{\left(x \right)} - \frac{1}{4 x^{4}}+ \mathrm{constant}$