Integral de (2-x^4-4(cbrt(x)))/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 3 u^{\frac{25}{2}} - 12 u^{\frac{3}{2}} + 6 \sqrt{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{\frac{25}{2}}\right)\, du = - 3 \int u^{\frac{25}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{25}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{27}{2}}}{27}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{27}{2}}}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 12 u^{\frac{3}{2}}\right)\, du = - 12 \int u^{\frac{3}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 \sqrt{u}\, du = 6 \int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 u^{\frac{3}{2}}$

         El resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{27}{2}}}{9} - \frac{24 u^{\frac{5}{2}}}{5} + 4 u^{\frac{3}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 4 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 \sqrt[3]{x} + \left(2 - x^{4}\right)}{\sqrt{x}} = - \frac{4 \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2}{\sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{4 \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{4 \sqrt[3]{x} + x^{4} - 2}{\sqrt{x}}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{- 4 u^{\frac{26}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 8 u^{8}}{u^{\frac{32}{3}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{- 4 u^{\frac{26}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 8 u^{8}}{u^{\frac{32}{3}}}\, du = - \int \frac{- 4 u^{\frac{26}{3}} + 2 u^{\frac{2}{3}} + 8 u^{8}}{u^{\frac{32}{3}}}\, du$

            1. que $u = u^{\frac{2}{3}}$.

               Luego que $du = \frac{2 du}{3 \sqrt[3]{u}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \frac{6 u^{12} - 12 u^{11} - 3}{u^{\frac{29}{2}}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6 u^{12} - 12 u^{11} - 3}{u^{\frac{29}{2}}}\, du = - \int \frac{6 u^{12} - 12 u^{11} - 3}{u^{\frac{29}{2}}}\, du$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{6 u^{12} - 12 u^{11} - 3}{u^{\frac{29}{2}}} = \frac{6}{u^{\frac{5}{2}}} - \frac{12}{u^{\frac{7}{2}}} - \frac{3}{u^{\frac{29}{2}}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{6}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{2}}}\, du = - \frac{2}{3 u^{\frac{3}{2}}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u^{\frac{3}{2}}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{12}{u^{\frac{7}{2}}}\right)\, du = - 12 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = - \frac{2}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{3}{u^{\frac{29}{2}}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{\frac{29}{2}}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{\frac{29}{2}}}\, du = - \frac{2}{27 u^{\frac{27}{2}}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{9 u^{\frac{27}{2}}}$

                     El resultado es: $- \frac{4}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{24}{5 u^{\frac{5}{2}}} + \frac{2}{9 u^{\frac{27}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{u^{\frac{3}{2}}} - \frac{24}{5 u^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{9 u^{\frac{27}{2}}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{4}{u} - \frac{2}{9 u^{9}} - \frac{24}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{u} + \frac{2}{9 u^{9}} + \frac{24}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} + \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} - 4 \sqrt{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 4 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 \sqrt[3]{x} + \left(2 - x^{4}\right)}{\sqrt{x}} = - \frac{4 \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} - x^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{\frac{8}{3}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = - \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6 x^{\frac{5}{6}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{7}{2}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{7}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{7}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 4 \sqrt{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 4 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{24 x^{\frac{5}{6}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{9}{2}}}{9} + 4 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$