Sr Examen

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Integral de dx/(6*x^2-x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |     2           
 |  6*x  - x + 1   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(6 x^{2} - x\right) + 1}\, dx$$
Integral(1/(6*x^2 - x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      1         
 | ------------ dx
 |    2           
 | 6*x  - x + 1   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
     1                         1                
------------ = ---------------------------------
   2              /                       2    \
6*x  - x + 1      |/      ____       ____\     |
               23 ||-12*\/ 23      \/ 23 |     |
               --*||----------*x + ------|  + 1|
               24 \\    23           23  /     /
o
  /                 
 |                  
 |      1           
 | ------------ dx  
 |    2            =
 | 6*x  - x + 1     
 |                  
/                   
  
     /                               
    |                                
    |              1                 
24* | ---------------------------- dx
    |                        2       
    | /      ____       ____\        
    | |-12*\/ 23      \/ 23 |        
    | |----------*x + ------|  + 1   
    | \    23           23  /        
    |                                
   /                                 
-------------------------------------
                  23                 
En integral
     /                               
    |                                
    |              1                 
24* | ---------------------------- dx
    |                        2       
    | /      ____       ____\        
    | |-12*\/ 23      \/ 23 |        
    | |----------*x + ------|  + 1   
    | \    23           23  /        
    |                                
   /                                 
-------------------------------------
                  23                 
hacemos el cambio
      ____          ____
    \/ 23    12*x*\/ 23 
v = ------ - -----------
      23          23    
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
24* | ------ dv             
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /              24*atan(v)
--------------- = ----------
       23             23    
hacemos cambio inverso
     /                                                                       
    |                                                                        
    |              1                                                         
24* | ---------------------------- dx                                        
    |                        2                                               
    | /      ____       ____\                                                
    | |-12*\/ 23      \/ 23 |                                                
    | |----------*x + ------|  + 1                   /    ____          ____\
    | \    23           23  /               ____     |  \/ 23    12*x*\/ 23 |
    |                                   2*\/ 23 *atan|- ------ + -----------|
   /                                                 \    23          23    /
------------------------------------- = -------------------------------------
                  23                                      23                 
La solución:
                 /    ____          ____\
        ____     |  \/ 23    12*x*\/ 23 |
    2*\/ 23 *atan|- ------ + -----------|
                 \    23          23    /
C + -------------------------------------
                      23                 
Respuesta (Indefinida) [src]
                                      /     ____            \
  /                          ____     |12*\/ 23 *(-1/12 + x)|
 |                       2*\/ 23 *atan|---------------------|
 |      1                             \          23         /
 | ------------ dx = C + ------------------------------------
 |    2                                   23                 
 | 6*x  - x + 1                                              
 |                                                           
/                                                            
$$\int \frac{1}{\left(6 x^{2} - x\right) + 1}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{23} \operatorname{atan}{\left(\frac{12 \sqrt{23} \left(x - \frac{1}{12}\right)}{23} \right)}}{23}$$
Gráfica
Respuesta [src]
             /  ____\                /     ____\
    ____     |\/ 23 |       ____     |11*\/ 23 |
2*\/ 23 *atan|------|   2*\/ 23 *atan|---------|
             \  23  /                \    23   /
--------------------- + ------------------------
          23                       23           
$$\frac{2 \sqrt{23} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{23}}{23} \right)}}{23} + \frac{2 \sqrt{23} \operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{23}}{23} \right)}}{23}$$
=
=
             /  ____\                /     ____\
    ____     |\/ 23 |       ____     |11*\/ 23 |
2*\/ 23 *atan|------|   2*\/ 23 *atan|---------|
             \  23  /                \    23   /
--------------------- + ------------------------
          23                       23           
$$\frac{2 \sqrt{23} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{23}}{23} \right)}}{23} + \frac{2 \sqrt{23} \operatorname{atan}{\left(\frac{11 \sqrt{23}}{23} \right)}}{23}$$
2*sqrt(23)*atan(sqrt(23)/23)/23 + 2*sqrt(23)*atan(11*sqrt(23)/23)/23
Respuesta numérica [src]
0.569339180910464
0.569339180910464

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.