Sr Examen

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Resolución de integrales/ e^(-x)/ sqrt((e^x+e^(-x))^2/4+1)

Integral de sqrt((e^x+e^(-x))^2/4+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |        _________________   
 |       /           2        
 |      /  / x    -x\         
 |     /   \E  + E  /         
 |    /    ----------- + 1  dx
 |  \/          4             
 |                            
/                             
0
∫01(ex+e−x)24+1 dx\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{4} + 1}\, dx 
Integral(sqrt((E^x + E^(-x))^2/4 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (ex+e−x)24+1=e2x4+32+e−2x4\sqrt{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{4} + 1} = \sqrt{\frac{e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫u24+32+14u2u du\int \frac{\sqrt{\frac{u^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4 u^{2}}}}{u}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u24+32+14u2u=u2+6+1u22u\frac{\sqrt{\frac{u^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4 u^{2}}}}{u} = \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{2 u}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2+6+1u22u du=∫u2+6+1u2u du2\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫u2+6+1u2u du\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du

        Por lo tanto, el resultado es: ∫u2+6+1u2u du2\frac{\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      ∫exu2+6+1u2u du2\frac{\int\limits^{e^{x}} \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (ex+e−x)24+1=e2x4+32+e−2x4\sqrt{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{4} + 1} = \sqrt{\frac{e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      ∫u24+32+14u2u du\int \frac{\sqrt{\frac{u^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4 u^{2}}}}{u}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u24+32+14u2u=u2+6+1u22u\frac{\sqrt{\frac{u^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4 u^{2}}}}{u} = \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{2 u}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2+6+1u22u du=∫u2+6+1u2u du2\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          ∫u2+6+1u2u du\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du

        Por lo tanto, el resultado es: ∫u2+6+1u2u du2\frac{\int \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      ∫exu2+6+1u2u du2\frac{\int\limits^{e^{x}} \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    ∫exu2+6+1u2u du2+constant\frac{\int\limits^{e^{x}} \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

∫exu2+6+1u2u du2+constant\frac{\int\limits^{e^{x}} \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                      x                      
                                     e                       
                                      /                      
                                     |                       
                                     |       _____________   
                                     |      /     1     2    
                                     |     /  6 + -- + u     
                                     |    /        2         
  /                                  |  \/        u          
 |                                   |  ------------------ du
 |       _________________           |          u            
 |      /           2                |                       
 |     /  / x    -x\                /                        
 |    /   \E  + E  /                                         
 |   /    ----------- + 1  dx = C + -------------------------
 | \/          4                                2            
 |                                                           
/
∫(ex+e−x)24+1 dx=C+∫exu2+6+1u2u du2\int \sqrt{\frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{4} + 1}\, dx = C + \frac{\int\limits^{e^{x}} \frac{\sqrt{u^{2} + 6 + \frac{1}{u^{2}}}}{u}\, du}{2}
Simplificar
Respuesta numérica [src] 
1.54641326385987
1.54641326385987

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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