Integral de 3*ln(4x+3) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 3 \log{\left(4 x + 3 \right)}\, dx = 3 \int \log{\left(4 x + 3 \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 4 x + 3$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x + \frac{\left(4 x + 3\right) \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{3}{4}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x + 3 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4}{4 x + 3}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{4 x + 3}\, dx = 4 \int \frac{x}{4 x + 3}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{4 x + 3} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 \left(4 x + 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{4 \left(4 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{4 x + 3}\, dx}{4}$

               1. que $u = 4 x + 3$.

                  Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(4 x + 3 \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{16}$

            El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{3 \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x + \frac{3 \left(4 x + 3\right) \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{9}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 x + \frac{3 \left(4 x + 3\right) \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{9}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x + \frac{3 \left(4 x + 3\right) \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{9}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x + \frac{3 \left(4 x + 3\right) \log{\left(4 x + 3 \right)}}{4} - \frac{9}{4}+ \mathrm{constant}$