Integral de 3*sin(5*x)+4*e^5*x-1/4 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 e^{5} x\, dx = 4 e^{5} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2} e^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(5 x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      El resultado es: $2 x^{2} e^{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, dx = - \frac{x}{4}$

   El resultado es: $2 x^{2} e^{5} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{2} e^{5} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{2} e^{5} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$