Sr Examen

Integral de dy/cos2y dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dy
 |  cos(2*y)   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left(2 y \right)}}\, dy$$
Integral(1/cos(2*y), (y, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dy
 | cos(2*y)   
 |            
/             
La función subintegral
   1    
--------
cos(2*y)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(2*y)
obtendremos
   1        cos(2*y)
-------- = ---------
cos(2*y)      2     
           cos (2*y)
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2               2     
cos (2*y) = 1 - sin (2*y)
cambiamos denominador
 cos(2*y)      cos(2*y)  
--------- = -------------
   2               2     
cos (2*y)   1 - sin (2*y)
hacemos el cambio
u = sin(2*y)
entonces integral
  /                  
 |                   
 |    cos(2*y)       
 | ------------- dy  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*y)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |    cos(2*y)       
 | ------------- dy  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*y)     
 |                   
/                    
  
Como du = 2*dy*cos(2*y)
  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               
Reescribimos la función subintegral
    1         1  /  1       1  \
---------- = ---*|----- + -----|
  /     2\   2*2 \1 - u   1 + u/
2*\1 - u /                      
entonces
                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           4             4       
 | 2*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  
= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = sin(2*y)
Respuesta
  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(-1 + sin(2*y))   log(1 + sin(2*y))     
 | -------- dy = - ------------------ + ----------------- + C0
 | cos(2*y)                4                    4             
 |                                                            
/                                                             
donde C0 es la constante que no depende de y
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                        
 |                                                         
 |    1              log(-1 + sin(2*y))   log(1 + sin(2*y))
 | -------- dy = C - ------------------ + -----------------
 | cos(2*y)                  4                    4        
 |                                                         
/                                                          
$$\int \frac{1}{\cos{\left(2 y \right)}}\, dy = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\sin{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4}$$
Gráfica
Respuesta [src]
nan
$$\text{NaN}$$
=
=
nan
$$\text{NaN}$$
nan
Respuesta numérica [src]
-0.637807798738107
-0.637807798738107

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.