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Resolución de integrales/ cos(t)/ sin(t)/ 32*cos(t)^3*sin(t)^2*3

Integral de 32*cos(t)^3*sin(t)^2*3 dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                        
 --                        
 2                         
  /                        
 |                         
 |        3       2        
 |  32*cos (t)*sin (t)*3 dt
 |                         
/                          
0
∫0π23sin⁡2(t)32cos⁡3(t) dt\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin^{2}{\left(t \right)} 32 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt 
Integral(((32*cos(t)^3)*sin(t)^2)*3, (t, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫3sin⁡2(t)32cos⁡3(t) dt=3∫32sin⁡2(t)cos⁡3(t) dt\int 3 \sin^{2}{\left(t \right)} 32 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = 3 \int 32 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫32sin⁡2(t)cos⁡3(t) dt=32∫sin⁡2(t)cos⁡3(t) dt\int 32 \sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = 32 \int \sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(t)cos⁡3(t)=(1−sin⁡2(t))sin⁡2(t)cos⁡(t)\sin^{2}{\left(t \right)} \cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

          Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫(−u4+u2) du\int \left(- u^{4} + u^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u4) du=−∫u4 du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            El resultado es: −u55+u33- \frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡5(t)5+sin⁡3(t)3- \frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(t))sin⁡2(t)cos⁡(t)=−sin⁡4(t)cos⁡(t)+sin⁡2(t)cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = - \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡4(t)cos⁡(t)) dt=−∫sin⁡4(t)cos⁡(t) dt\int \left(- \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              ∫u4 du\int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(t)5- \frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          El resultado es: −sin⁡5(t)5+sin⁡3(t)3- \frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−sin⁡2(t))sin⁡2(t)cos⁡(t)=−sin⁡4(t)cos⁡(t)+sin⁡2(t)cos⁡(t)\left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = - \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡4(t)cos⁡(t)) dt=−∫sin⁡4(t)cos⁡(t) dt\int \left(- \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{4}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

              Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

              ∫u4 du\int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(t)5\frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡5(t)5- \frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5}

          1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

            Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(t)3\frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

          El resultado es: −sin⁡5(t)5+sin⁡3(t)3- \frac{\sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −32sin⁡5(t)5+32sin⁡3(t)3- \frac{32 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + \frac{32 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −96sin⁡5(t)5+32sin⁡3(t)- \frac{96 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + 32 \sin^{3}{\left(t \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −96sin⁡5(t)5+32sin⁡3(t)+constant- \frac{96 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + 32 \sin^{3}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−96sin⁡5(t)5+32sin⁡3(t)+constant- \frac{96 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + 32 \sin^{3}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                                                  5   
 |       3       2                     3      96*sin (t)
 | 32*cos (t)*sin (t)*3 dt = C + 32*sin (t) - ----------
 |                                                5     
/
∫3sin⁡2(t)32cos⁡3(t) dt=C−96sin⁡5(t)5+32sin⁡3(t)\int 3 \sin^{2}{\left(t \right)} 32 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = C - \frac{96 \sin^{5}{\left(t \right)}}{5} + 32 \sin^{3}{\left(t \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
64/5
645\frac{64}{5} 
=
= 
64/5
645\frac{64}{5} 
64/5
Respuesta numérica [src] 
12.8
12.8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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