Integral de (lnsinx+1)cosx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

      Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{\sin{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u e^{u} + e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         El resultado es: $u e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

         Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{\sin{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

         Luego que $du = \frac{\cos{\left(x \right)} dx}{\sin{\left(x \right)}}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$