Integral de (7x-sqrtx)^(1/3)*(7-1/(2*sqrtx)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt{x} + 7 x$.

      Luego que $du = \left(7 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt[3]{u}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x} = \frac{14 \sqrt{x} \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x} - \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x}}{2 \sqrt{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{14 \sqrt{x} \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x} - \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x}}{2 \sqrt{x}}\, dx = \frac{\int \frac{14 \sqrt{x} \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x} - \sqrt[3]{- \sqrt{x} + 7 x}}{\sqrt{x}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{2 u \sqrt[3]{- \frac{1}{u} + \frac{7}{u^{2}}} - 28 \sqrt[3]{- \frac{1}{u} + \frac{7}{u^{2}}}}{u^{3}}\, du$

         1. que $u = \sqrt[3]{- \frac{1}{u} + \frac{7}{u^{2}}}$.

            Luego que $du = \frac{\left(\frac{1}{3 u^{2}} - \frac{14}{3 u^{3}}\right) du}{\left(- \frac{1}{u} + \frac{7}{u^{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $6 du$:

            $\int 6 u^{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(- \frac{1}{u} + \frac{7}{u^{2}}\right)^{\frac{4}{3}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(- \sqrt{x} + 7 x\right)^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$