Integral de (-5+3x+7x^2)*exp(10x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x^{2} + \left(3 x - 5\right)\right) e^{10 x} = 7 x^{2} e^{10 x} + 3 x e^{10 x} - 5 e^{10 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 x^{2} e^{10 x}\, dx = 7 \int x^{2} e^{10 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{x}{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{10 x}}{50}\, dx = \frac{\int e^{10 x}\, dx}{50}$

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{10 x}}{500}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 x^{2} e^{10 x}}{10} - \frac{7 x e^{10 x}}{50} + \frac{7 e^{10 x}}{500}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{10 x}\, dx = 3 \int x e^{10 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{10 x}}{10}\, dx = \frac{\int e^{10 x}\, dx}{10}$

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{10 x}}{100}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x e^{10 x}}{10} - \frac{3 e^{10 x}}{100}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 e^{10 x}\right)\, dx = - 5 \int e^{10 x}\, dx$

         1. que $u = 10 x$.

            Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{10 x}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{10 x}}{2}$

      El resultado es: $\frac{7 x^{2} e^{10 x}}{10} + \frac{4 x e^{10 x}}{25} - \frac{129 e^{10 x}}{250}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 7 x^{2} + 3 x - 5$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 14 x + 3$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 10 x$.

         Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{10 x}}{10}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \frac{7 x}{5} + \frac{3}{10}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{7}{5}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 10 x$.

         Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{10 x}}{10}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{7 e^{10 x}}{50}\, dx = \frac{7 \int e^{10 x}\, dx}{50}$

      1. que $u = 10 x$.

         Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{10 x}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 e^{10 x}}{500}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x^{2} + \left(3 x - 5\right)\right) e^{10 x} = 7 x^{2} e^{10 x} + 3 x e^{10 x} - 5 e^{10 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 x^{2} e^{10 x}\, dx = 7 \int x^{2} e^{10 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \frac{x}{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{10 x}}{50}\, dx = \frac{\int e^{10 x}\, dx}{50}$

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{10 x}}{500}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 x^{2} e^{10 x}}{10} - \frac{7 x e^{10 x}}{50} + \frac{7 e^{10 x}}{500}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{10 x}\, dx = 3 \int x e^{10 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{10 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{10 x}}{10}\, dx = \frac{\int e^{10 x}\, dx}{10}$

            1. que $u = 10 x$.

               Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{10 x}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{10 x}}{100}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x e^{10 x}}{10} - \frac{3 e^{10 x}}{100}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 e^{10 x}\right)\, dx = - 5 \int e^{10 x}\, dx$

         1. que $u = 10 x$.

            Luego que $du = 10 dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{e^{u}}{10}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{10 x}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{10 x}}{2}$

      El resultado es: $\frac{7 x^{2} e^{10 x}}{10} + \frac{4 x e^{10 x}}{25} - \frac{129 e^{10 x}}{250}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(175 x^{2} + 40 x - 129\right) e^{10 x}}{250}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(175 x^{2} + 40 x - 129\right) e^{10 x}}{250}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(175 x^{2} + 40 x - 129\right) e^{10 x}}{250}+ \mathrm{constant}$