Integral de (1-sqrt(y-2))^2 dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{y - 2}$.

      Luego que $du = \frac{dy}{2 \sqrt{y - 2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{3} - 4 u^{2} + 2 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{2}\right)\, du = - 4 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{2} - \frac{4 u^{3}}{3} + u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{2} - 2$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sqrt{y - 2}\right)^{2} = y - 2 \sqrt{y - 2} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt{y - 2}\right)\, dy = - 2 \int \sqrt{y - 2}\, dy$

         1. que $u = y - 2$.

            Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dy = - y$

      El resultado es: $\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sqrt{y - 2}\right)^{2} = y - 2 \sqrt{y - 2} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sqrt{y - 2}\right)\, dy = - 2 \int \sqrt{y - 2}\, dy$

         1. que $u = y - 2$.

            Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dy = - y$

      El resultado es: $\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{2} - 2$

3. Añadimos la constante de integración:

   $y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{2} - 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y - \frac{4 \left(y - 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{2} - 2+ \mathrm{constant}$