Integral de dx/3√(1-3x)² dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 0.333333333333333 \left(\sqrt{1 - 3 x}\right)^{2}\, dx = 0.333333333333333 \int \left(\sqrt{1 - 3 x}\right)^{2}\, dx$

   1. que $u = \sqrt{1 - 3 x}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{2 \sqrt{1 - 3 x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right) - \frac{2 u}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = 2 \int u \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u}{6}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{u}{6}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{6}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{12}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{2}}{12} + \frac{u}{6}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{u^{4}}{12} + \frac{u^{2}}{6}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $u \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right) = - \frac{u^{3}}{3} + \frac{u}{3}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u^{3}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{12}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{3}\, du = \frac{\int u\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{6}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{4}}{12} + \frac{u^{2}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{6} + \frac{u^{2}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 u}{3}\right)\, du = - \frac{2 \int u\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{u^{4}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 3 x\right)^{2}}{6}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 0.0555555555555556 \left(1 - 3 x\right)^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- 0.0555555555555556 \left(3 x - 1\right)^{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 0.0555555555555556 \left(3 x - 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 0.0555555555555556 \left(3 x - 1\right)^{2}+ \mathrm{constant}$