Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^2-2/ (x-2)/ -2x+4/ (x-1)/ (3x^2-2x+4)/(x-2)(x-1)^2dx

Integral de (3x^2-2x+4)/(x-2)(x-1)^2dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
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 |     2                      
 |  3*x  - 2*x + 4        2   
 |  --------------*(x - 1)  dx
 |      x - 2                 
 |                            
/                             
0
∫01(3x2−2x)+4x−2(x−1)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 4}{x - 2} \left(x - 1\right)^{2}\, dx 
Integral(((3*x^2 - 2*x + 4)/(x - 2))*(x - 1)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2−2x)+4x−2(x−1)2=3x3−2x2+7x+4+12x−2\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 4}{x - 2} \left(x - 1\right)^{2} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + 4 + \frac{12}{x - 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3 dx=3∫x3 dx\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44\frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x2) dx=−2∫x2 dx\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x33- \frac{2 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x dx=7∫x dx\int 7 x\, dx = 7 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x22\frac{7 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12x−2 dx=12∫1x−2 dx\int \frac{12}{x - 2}\, dx = 12 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 12log⁡(x−2)12 \log{\left(x - 2 \right)}

      El resultado es: 3x44−2x33+7x22+4x+12log⁡(x−2)\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2−2x)+4x−2(x−1)2=3x4−8x3+11x2−10x+4x−2\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 4}{x - 2} \left(x - 1\right)^{2} = \frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x + 4}{x - 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x4−8x3+11x2−10x+4x−2=3x3−2x2+7x+4+12x−2\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x + 4}{x - 2} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + 4 + \frac{12}{x - 2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3 dx=3∫x3 dx\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44\frac{3 x^{4}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x2) dx=−2∫x2 dx\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x33- \frac{2 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x dx=7∫x dx\int 7 x\, dx = 7 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x22\frac{7 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12x−2 dx=12∫1x−2 dx\int \frac{12}{x - 2}\, dx = 12 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 12log⁡(x−2)12 \log{\left(x - 2 \right)}

      El resultado es: 3x44−2x33+7x22+4x+12log⁡(x−2)\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2−2x)+4x−2(x−1)2=3x4x−2−8x3x−2+11x2x−2−10xx−2+4x−2\frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 4}{x - 2} \left(x - 1\right)^{2} = \frac{3 x^{4}}{x - 2} - \frac{8 x^{3}}{x - 2} + \frac{11 x^{2}}{x - 2} - \frac{10 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x4x−2 dx=3∫x4x−2 dx\int \frac{3 x^{4}}{x - 2}\, dx = 3 \int \frac{x^{4}}{x - 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x−2=x3+2x2+4x+8+16x−2\frac{x^{4}}{x - 2} = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8 + \frac{16}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2x2 dx=2∫x2 dx\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2x33\frac{2 x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫8 dx=8x\int 8\, dx = 8 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16x−2 dx=16∫1x−2 dx\int \frac{16}{x - 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(x−2)16 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: x44+2x33+2x2+8x+16log⁡(x−2)\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 8 x + 16 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x44+2x3+6x2+24x+48log⁡(x−2)\frac{3 x^{4}}{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x + 48 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−8x3x−2) dx=−8∫x3x−2 dx\int \left(- \frac{8 x^{3}}{x - 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{x^{3}}{x - 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x−2=x2+2x+4+8x−2\frac{x^{3}}{x - 2} = x^{2} + 2 x + 4 + \frac{8}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫8x−2 dx=8∫1x−2 dx\int \frac{8}{x - 2}\, dx = 8 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 8log⁡(x−2)8 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: x33+x2+4x+8log⁡(x−2)\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + 8 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −8x33−8x2−32x−64log⁡(x−2)- \frac{8 x^{3}}{3} - 8 x^{2} - 32 x - 64 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫11x2x−2 dx=11∫x2x−2 dx\int \frac{11 x^{2}}{x - 2}\, dx = 11 \int \frac{x^{2}}{x - 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x−2=x+2+4x−2\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x−2 dx=4∫1x−2 dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−2)4 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: x22+2x+4log⁡(x−2)\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 11x22+22x+44log⁡(x−2)\frac{11 x^{2}}{2} + 22 x + 44 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−10xx−2) dx=−10∫xx−2 dx\int \left(- \frac{10 x}{x - 2}\right)\, dx = - 10 \int \frac{x}{x - 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx−2=1+2x−2\frac{x}{x - 2} = 1 + \frac{2}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2x−2 dx=2∫1x−2 dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: x+2log⁡(x−2)x + 2 \log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −10x−20log⁡(x−2)- 10 x - 20 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x−2 dx=4∫1x−2 dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x−2)4 \log{\left(x - 2 \right)}

      El resultado es: 3x44−2x33+7x22+4x+4log⁡(x−2)+8log⁡(x−2)\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)} + 8 \log{\left(x - 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x44−2x33+7x22+4x+12log⁡(x−2)+constant\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x44−2x33+7x22+4x+12log⁡(x−2)+constant\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                                                           
 |    2                                                       3      4      2
 | 3*x  - 2*x + 4        2                                 2*x    3*x    7*x 
 | --------------*(x - 1)  dx = C + 4*x + 12*log(-2 + x) - ---- + ---- + ----
 |     x - 2                                                3      4      2  
 |                                                                           
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∫(3x2−2x)+4x−2(x−1)2 dx=C+3x44−2x33+7x22+4x+12log⁡(x−2)\int \frac{\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 4}{x - 2} \left(x - 1\right)^{2}\, dx = C + \frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 4 x + 12 \log{\left(x - 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-4
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
91            
-- - 12*log(2)
12
9112−12log⁡(2)\frac{91}{12} - 12 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
91            
-- - 12*log(2)
12
9112−12log⁡(2)\frac{91}{12} - 12 \log{\left(2 \right)} 
91/12 - 12*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.73443283338601
-0.73443283338601

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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