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Resolución de integrales/ ln(x)/ ln(x)/(x^6)

Integral de ln(x)/(x^6) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |     6     
 |    x      
 |           
/            
1
∫1∞log⁡(x)x6 dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{6}}\, dx 
Integral(log(x)/x^6, (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue−5u du\int u e^{- 5 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e−5u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 5 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−5uu = - 5 u.

          Luego que du=−5dudu = - 5 du y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

          ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−5u5- \frac{e^{- 5 u}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−5u5) du=−∫e−5u du5\int \left(- \frac{e^{- 5 u}}{5}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 5 u}\, du}{5}

        1. que u=−5uu = - 5 u.

          Luego que du=−5dudu = - 5 du y ponemos −du5- \frac{du}{5}:

          ∫(−eu5) du\int \left(- \frac{e^{u}}{5}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu5- \frac{e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−5u5- \frac{e^{- 5 u}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: e−5u25\frac{e^{- 5 u}}{25}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(x)5x5−125x5- \frac{\log{\left(x \right)}}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x6\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{6}}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x6 dx=−15x5\int \frac{1}{x^{6}}\, dx = - \frac{1}{5 x^{5}}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−15x6) dx=−∫1x6 dx5\int \left(- \frac{1}{5 x^{6}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{6}}\, dx}{5}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x6 dx=−15x5\int \frac{1}{x^{6}}\, dx = - \frac{1}{5 x^{5}}

      Por lo tanto, el resultado es: 125x5\frac{1}{25 x^{5}}

  2. Ahora simplificar:

    −5log⁡(x)+125x5- \frac{5 \log{\left(x \right)} + 1}{25 x^{5}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −5log⁡(x)+125x5+constant- \frac{5 \log{\left(x \right)} + 1}{25 x^{5}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−5log⁡(x)+125x5+constant- \frac{5 \log{\left(x \right)} + 1}{25 x^{5}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              
 |                               
 | log(x)            1     log(x)
 | ------ dx = C - ----- - ------
 |    6                5       5 
 |   x             25*x     5*x  
 |                               
/
∫log⁡(x)x6 dx=C−log⁡(x)5x5−125x5\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{6}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00900.05-0.05
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/25
125\frac{1}{25} 
=
= 
1/25
125\frac{1}{25} 
1/25

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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