Sr Examen

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Integral de x^(3/2)/sqrt(2-x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2             
  /             
 |              
 |      3/2     
 |     x        
 |  --------- dx
 |    _______   
 |  \/ 2 - x    
 |              
/               
0               
$$\int\limits_{0}^{2} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}}\, dx$$
Integral(x^(3/2)/sqrt(2 - x), (x, 0, 2))
Solución detallada
  1. que .

    Luego que y ponemos :

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sin(_theta), rewritten=1/2 - cos(4*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-cos(4*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(2)) & (_u > -sqrt(2)), context=_u**2*sqrt(2 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sin(_theta), rewritten=2*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=2, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=2*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(2)) & (_u > -sqrt(2)), context=sqrt(2 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es:

          El resultado es:

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sin(_theta), rewritten=1/2 - cos(4*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=-cos(4*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(2)) & (_u > -sqrt(2)), context=_u**2*sqrt(2 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(2)*sin(_theta), rewritten=2*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=2, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=2*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(2)) & (_u > -sqrt(2)), context=sqrt(2 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es:

          El resultado es:

      Por lo tanto, el resultado es:

    Si ahora sustituir más en:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                                                                       
 |                                                                                             //    /  ___   _______\                                                   \
 |     3/2              //  ___   _______       /  ___   _______\                        \     ||    |\/ 2 *\/ 2 - x |                                                   |
 |    x                 ||\/ x *\/ 2 - x        |\/ 2 *\/ 2 - x |                        |     ||asin|---------------|     ___   _______                                 |
 | --------- dx = C - 4*|<--------------- + asin|---------------|  for And(x <= 2, x > 0)| + 2*|<    \       2       /   \/ x *\/ 2 - x *(-1 + x)                        |
 |   _______            ||       2              \       2       /                        |     ||--------------------- - ------------------------  for And(x <= 2, x > 0)|
 | \/ 2 - x             \\                                                               /     ||          2                        4                                    |
 |                                                                                             \\                                                                        /
/                                                                                                                                                                         
$$\int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}}\, dx = C - 4 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 - x}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - x}}{2} \right)} & \text{for}\: x \leq 2 \wedge x > 0 \end{cases}\right) + 2 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 - x} \left(x - 1\right)}{4} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - x}}{2} \right)}}{2} & \text{for}\: x \leq 2 \wedge x > 0 \end{cases}\right)$$
Gráfica
Respuesta [src]
3*pi
----
 2  
$$\frac{3 \pi}{2}$$
=
=
3*pi
----
 2  
$$\frac{3 \pi}{2}$$
3*pi/2
Respuesta numérica [src]
4.7123889777055
4.7123889777055

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.