Integral de (4x+1)/(sqrt(2x-3)+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x - 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 3}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{4 u \left(\frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{2}\right) + u}{u + 7}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 u \left(\frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{2}\right) + u}{u + 7} = 2 u^{2} - 14 u + 105 - \frac{735}{u + 7}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 14 u\right)\, du = - 14 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 7 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 105\, du = 105 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{735}{u + 7}\right)\, du = - 735 \int \frac{1}{u + 7}\, du$

            1. que $u = u + 7$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 7 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 735 \log{\left(u + 7 \right)}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} - 7 u^{2} + 105 u - 735 \log{\left(u + 7 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 105 \sqrt{2 x - 3} - 735 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x + 1}{\sqrt{2 x - 3} + 7} = \frac{4 x}{\sqrt{2 x - 3} + 7} + \frac{1}{\sqrt{2 x - 3} + 7}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{\sqrt{2 x - 3} + 7}\, dx = 4 \int \frac{x}{\sqrt{2 x - 3} + 7}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{2 x - 3}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 3}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{2}\right)}{u + 7}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} + \frac{3}{2}\right)}{u + 7} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{7 u}{2} + 26 - \frac{182}{u + 7}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{7 u}{2}\right)\, du = - \frac{7 \int u\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{2}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 26\, du = 26 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{182}{u + 7}\right)\, du = - 182 \int \frac{1}{u + 7}\, du$

                  1. que $u = u + 7$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 7 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 182 \log{\left(u + 7 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{7 u^{2}}{4} + 26 u - 182 \log{\left(u + 7 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{7 x}{2} + \frac{\left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + 26 \sqrt{2 x - 3} - 182 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + \frac{21}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 104 \sqrt{2 x - 3} - 728 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21$

      1. que $u = \sqrt{2 x - 3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 3}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u + 7}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 7} = 1 - \frac{7}{u + 7}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{7}{u + 7}\right)\, du = - 7 \int \frac{1}{u + 7}\, du$

               1. que $u = u + 7$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 7 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 7 \log{\left(u + 7 \right)}$

            El resultado es: $u - 7 \log{\left(u + 7 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{2 x - 3} - 7 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)}$

      El resultado es: $- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 105 \sqrt{2 x - 3} - 735 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21$

2. Ahora simplificar:

   $- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 105 \sqrt{2 x - 3} - 735 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 105 \sqrt{2 x - 3} - 735 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 14 x + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 105 \sqrt{2 x - 3} - 735 \log{\left(\sqrt{2 x - 3} + 7 \right)} + 21+ \mathrm{constant}$