Integral de 2*(t-arctg(t)) dt

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \left(t - \operatorname{atan}{\left(t \right)}\right)\, dt = 2 \int \left(t - \operatorname{atan}{\left(t \right)}\right)\, dt$

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \operatorname{atan}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \operatorname{atan}{\left(t \right)}\, dt$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(t \right)} = \operatorname{atan}{\left(t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{1}{t^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(t \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dt = t$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{t}{t^{2} + 1}\, dt = \frac{\int \frac{2 t}{t^{2} + 1}\, dt}{2}$

            1. que $u = t^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 t dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(t^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- t \operatorname{atan}{\left(t \right)} + \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{t^{2}}{2} - t \operatorname{atan}{\left(t \right)} + \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $t^{2} - 2 t \operatorname{atan}{\left(t \right)} + \log{\left(t^{2} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $t^{2} - 2 t \operatorname{atan}{\left(t \right)} + \log{\left(t^{2} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$t^{2} - 2 t \operatorname{atan}{\left(t \right)} + \log{\left(t^{2} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$