Integral de sinx(1+sinx) dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*atan(2*x)                      
      /                           
     |                            
     |      sin(x)*(1 + sin(x)) dx
     |                            
    /                             
    pi                            
    --                            
    2

$$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(sin(x)*(1 + sin(x)), (x, pi/2, 2*atan(2*x)))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  1. La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
  El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
  1. La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$
  El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  
 |                              x            sin(2*x)
 | sin(x)*(1 + sin(x)) dx = C + - - cos(x) - --------
 |                              2               4    
/

$$\int \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Respuesta [src]

                    pi      2                             2                          cos(2*atan(2*x))*sin(2*atan(2*x))
-cos(2*atan(2*x)) - -- + cos (2*atan(2*x))*atan(2*x) + sin (2*atan(2*x))*atan(2*x) - ---------------------------------
                    4                                                                                2

$$\sin^{2}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} \right)} \cos{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + \cos^{2}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} \right)} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} \right)} - \frac{\pi}{4}$$

                    pi      2                             2                          cos(2*atan(2*x))*sin(2*atan(2*x))
-cos(2*atan(2*x)) - -- + cos (2*atan(2*x))*atan(2*x) + sin (2*atan(2*x))*atan(2*x) - ---------------------------------
                    4                                                                                2

-cos(2*atan(2*x)) - pi/4 + cos(2*atan(2*x))^2*atan(2*x) + sin(2*atan(2*x))^2*atan(2*x) - cos(2*atan(2*x))*sin(2*atan(2*x))/2

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de sinx(1+sinx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2