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Resolución de integrales/ (4*sin(x)²+5cos(x)²)/sin(x)²*cos(x)²

Integral de (4*sin(x)²+5cos(x)²)/sin(x)²*cos(x)² dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                 
  /                                 
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 |       2           2              
 |  4*sin (x) + 5*cos (x)    2      
 |  ---------------------*cos (x) dx
 |            2                     
 |         sin (x)                  
 |                                  
/                                   
0
∫014sin⁡2(x)+5cos⁡2(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(((4*sin(x)^2 + 5*cos(x)^2)/sin(x)^2)*cos(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4sin⁡2(x)+5cos⁡2(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x)=4sin⁡2(x)cos⁡2(x)+5cos⁡4(x)sin⁡2(x)\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      4sin⁡2(x)cos⁡2(x)+5cos⁡4(x)sin⁡2(x)=4cos⁡2(x)+5cos⁡4(x)sin⁡2(x)\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡4(x)sin⁡2(x) dx=5∫cos⁡4(x)sin⁡2(x) dx\int \frac{5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 5 \int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −3x2−3sin⁡(x)cos⁡(x)2−cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −15x2−15sin⁡(x)cos⁡(x)2−5cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{15 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      El resultado es: −11x2−15sin⁡(x)cos⁡(x)2+sin⁡(2x)−5cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{11 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      4sin⁡2(x)+5cos⁡2(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x)=4cos⁡2(x)+5cos⁡4(x)sin⁡2(x)\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡4(x)sin⁡2(x) dx=5∫cos⁡4(x)sin⁡2(x) dx\int \frac{5 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 5 \int \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −3x2−3sin⁡(x)cos⁡(x)2−cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −15x2−15sin⁡(x)cos⁡(x)2−5cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{15 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      El resultado es: −11x2−15sin⁡(x)cos⁡(x)2+sin⁡(2x)−5cos⁡3(x)sin⁡(x)- \frac{11 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    −11x2−418tan⁡(x)+cos⁡(3x)8sin⁡(x)- \frac{11 x}{2} - \frac{41}{8 \tan{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{8 \sin{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −11x2−418tan⁡(x)+cos⁡(3x)8sin⁡(x)+constant- \frac{11 x}{2} - \frac{41}{8 \tan{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{8 \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−11x2−418tan⁡(x)+cos⁡(3x)8sin⁡(x)+constant- \frac{11 x}{2} - \frac{41}{8 \tan{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{8 \sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                     
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 |      2           2                                 3                                 
 | 4*sin (x) + 5*cos (x)    2             11*x   5*cos (x)   15*cos(x)*sin(x)           
 | ---------------------*cos (x) dx = C - ---- - --------- - ---------------- + sin(2*x)
 |           2                             2       sin(x)           2                   
 |        sin (x)                                                                       
 |                                                                                      
/
∫4sin⁡2(x)+5cos⁡2(x)sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx=C−11x2−15sin⁡(x)cos⁡(x)2+sin⁡(2x)−5cos⁡3(x)sin⁡(x)\int \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{11 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \sin{\left(2 x \right)} - \frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-500000000500000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
6.89661838974298e+19
6.89661838974298e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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