Integral de x^3*exp(-2*x^2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x^{2}}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   ErfRule(a=-2, b=0, c=0, context=exp(-2*x**2), symbol=x)

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} \int x^{2} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}\, dx}{4}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{2} x^{2} e^{- 2 x^{2}}}{6 \sqrt{\pi}} + \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x^{2}}}{12 \sqrt{\pi}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{3} + \frac{\sqrt{2} x^{2} e^{- 2 x^{2}}}{6 \sqrt{\pi}} + \frac{\sqrt{2} e^{- 2 x^{2}}}{12 \sqrt{\pi}}\right)}{4}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 x^{2} + 1\right) e^{- 2 x^{2}}}{8}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 x^{2} + 1\right) e^{- 2 x^{2}}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 x^{2} + 1\right) e^{- 2 x^{2}}}{8}+ \mathrm{constant}$